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  • 函数f（x）的定义域为R，且满足：①对于任意的x，y∈R，f（x-y+1）=f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）；②f（x）在区间[0，1]上单调递增．求：（Ⅰ）f（0）；（Ⅱ）不等式2f（x+1）-1≥0的解集．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）的定义域为R，且满足：
      ①对于任意的x，y∈R，f（x-y+1）=f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）；
      ②f（x）在区间[0，1]上单调递增．
      求：（Ⅰ）f（0）；（Ⅱ）不等式2f（x+1）-1≥0的解集．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）证明：令x=0，y=1，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或f（1）=
      1
      2
      ．
      令x=0，y=0，得f（1）=[f（0）]      2+[f（1）]2．
      若f（1）=
      1
      2
      ，则f（0）=±
      1
      2
      ．
      令x=y=
      1
      2
      ，得f（1）=2[f（
      1
      2
      ）]2．
      即f（
      1
      2
      ）=±
      1
      2
      ，
      因为f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）＜f（
      1
      2
      ）＜f（1），矛盾！
      因此f（0）=0，
      （Ⅱ）令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
      令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
      即对于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
      代入①式得对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（6分）
      可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
      即：函数f（x）的最小正周期为4．
      这样可以大致描述f（x）的图象（如右）
      令x=y=
      1
      3
      ，f(
      2
      3
      )=2f(
      1
      3
      )f(
      2
      3
      )，
      因为f(
      2
      3
      )＞f(0)=0，所以f(
      1
      3
      )=
      1
      2
      ，所以f(
      5
      3
      )=
      1
      2
      ，…（12分）
      所以2f（x+1）-1≥0，可得到f(x+1)≥
      1
      2
      ．
      根据图象
      1
      3
      +4k≤x+1≤
      5
      3
      +4k，k∈Z，
      所以不等式的解集是{x|4k-
      2
      3
      ≤x≤4k+
      2
      3
      ，k∈Z}…（14分）
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