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  • （2000?北京）已知函数f(x)={f1(x)，x∈[012)f2(x)，x∈[12，1]其中f1(x)=-2(x-12)2+1，f2(x)=-2x+2（1）如图，在下面坐标系上画出y=f（x）的图象；（2）设y=f2(x)(x∈[12，1])的反函数为y=g（x），a1=1，a2=g（a1），…，an=g（an-1），求数列{an}的通项公式，并求limn→∞an；（3）若x0∈[0，12)，x1=f(x1)，f(x1)=x0，求x0试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2000?北京）已知函数f(x)=
      {
      f1(x)，x∈[0
      1
      2
      )
      f2(x)，x∈[
      1
      2
      ，1]
      其中f1(x)=-2(x-
      1
      2
      )2+1，f2(x)=-2x+2
      （1）如图，在下面坐标系上画出y=f（x）的图象；
      （2）设y=f      2(x)(x∈[
      1
      2
      ，1])的反函数为y=g（x），a1=1，a2=g（a1），…，
      a      n=g（an-1），求数列{an}的通项公式，并求limn→∞an；
      （3）若      x0∈[0，
      1
      2
      )，x1=f(x1)，f(x1)=x0，求x0

      试题解答

      见解析
      解（1）如图所示：
      说明：图象过(0，
      1
      2
      )、(
      1
      2
      ，1)、（1，0）点；
      在区间（0，
      1
      2
      ）上的图象为上凸的曲线段；
      在区间[
      1
      2
      ，1]上的图象为直线段．

      （2）f      2（x）=-2x-2，x∈[
      1
      2
      ，1]的反函数为：
      y=1-
      x
      2
      ，x∈[0，1]（5分）
      由已知条件得：
      a      1=1
      a2=1-
      1
      2
      a1=1-
      1
      2

      a3=1-
      1
      2
      a2=1-
      1
      2
      +(
      1
      2
      )2
      a4=1+(-
      1
      2
      )1+(-
      1
      2
      )2+(-
      1
      2
      )3，
      ∴      an=(-
      1
      2
      )0+(-
      1
      2
      )1+(-
      1
      2
      )2++(-
      1
      2
      )n-1=
      1-(-
      1
      2
      )n
      1-(-
      1
      2
      )

      即      an=
      2
      3
      [1-(
      1
      2
      )n]，（8分）
      ∴limn→∞a      n=limn→∞
      2
      3
      [1-(
      1
      2
      )n]=
      2
      3
      （10分）

      （3）：由已知      x0∈(0，
      1
      2
      )，
      ∴      x1=f1(x0)=1-2(x0-
      1
      2
      )2，
      由f      1（x）的值域，得x1∈[
      1
      2
      ，1]
      ∴      f2(x1)=2-2[1-2(x0-
      1
      2
      )2]=4(x0-
      1
      2
      )2
      由f      2（x1）=x0，整理得4x02-5x0+1=0，
      解得      x0=1，x0=
      1
      4

      因为      x0∈(0，
      1
      2
      )，所以x0=
      1
      4
      （14分）
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