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  • 已知函数f(x)=cos2x1-|sinx|，x∈(-π2，π2)．（1）在坐标系中作出函数的草图；（2）研究其值域、奇偶性和单调性，并分别加以证明．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      cos2x
      1-|sinx|
      ，x∈(-
      π
      2
      ，
      π
      2
      )．
      （1）在坐标系中作出函数的草图；
      （2）研究其值域、奇偶性和单调性，并分别加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f(x)=
      cos2x
      1-|sinx|
      =
      {
      1+sinx，x∈[0
      π
      2
      )
      1-sinx，x∈(-
      π
      2
      ，0)
      ，
      （2）f（x）的值域为[1，2）．
      ∵f(-x)=
      cos2(-x)
      1-|sin(-x)|
      =
      cos2x
      1-|sinx|
      =f(x)，
      ∴f（x）是偶函数．
      任取0≤x      1＜x2＜
      π
      2
      ，
      则1+sinx      1＜1+sinx2，
      即f（x      1）＜f（x2），
      ∴f（x）在[0，
      π
      2
      )上是增函数，
      又f（x）是偶函数，
      在对称区间函数的单调性相反
      ∴f（x）在(-
      π
      2
      ，0)上是减函数．
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