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  • 已知函数g(x)=1-x21+x2(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数g(x)=
      1-x2
      1+x2
      (x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．
      （1）判断函数f（x）的奇偶性；
      （2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
      （3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由y=
      1-x2
      1+x2
      得x2=
      1-y
      1+y
      ＞0，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
      因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
      （2）设x      1＜x2，则f(x1)-f(x2)=
      1
      x
      2
      1
      -x
      2
      1
      -
      1
      x
      2
      2
      +x
      2
      2
      =(x2-x1)(x2+x1)(1+
      1
      x
      2
      1
      x
      2
      2
      )，
      ①如果x      1，x2∈（-1，0），那么x1+x2＜0，故f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）；
      ②若x      1，x2∈（0，1），则x1+x2＞0，故f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
      因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
      （3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
      故
      {
      |3x+1＜|5x+1
      0＜|3x+1＜1
      0＜|5x+1＜1
      ，即
      {
      (8x+2)?2x＞0
      -
      2
      3
      ＜x＜0且x≠-
      1
      3
      -
      2
      5
      ＜x＜ 0且x≠-
      1
      5
      ，
      解得-
      2
      5
      ＜x＜-
      1
      3
      或-
      1
      3
      x＜-
      1
      4
      ，从而原不等式的解集为{x|-
      2
      5
      ＜x＜-
      1
      3
      或-
      1
      3
      x＜-
      1
      4
      }．
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