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年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=2x4x+1．（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=

2^x

4^x+1

．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

{

2^x

4^x+1

x∈(0，1]

2^x

4^x+1

x∈[-1，0)

0 x∈{0}

，
（2）证明当x∈（0，1]时，f（x）=

2^x

4^x+1

，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

(2^x₂-2^x₁)(2^x₁+x₂-1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₂+x₁-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有实数解，转化为b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上单调递减；
∴f（x）-x的值域为 (-

，-

)∪(

，

)∪{0}，
∴实数b的取值范围为(-

，-

)∪(

，

)∪{0}．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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