• 已知函数g(x)=4x-n2x是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数.(1)求m+n的值;(2)设h(x)=f(x)+12x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.(3)若对任意的t∈R,不等式g(t2-2t)+g(2t2-k)>0恒成立,求k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数g(x)=
      4x-n
      2x
      是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数.
      (1)求m+n的值;
      (2)设h(x)=f(x)+
      1
      2
      x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
      (3)若对任意的t∈R,不等式g(t
      2-2t)+g(2t2-k)>0恒成立,求k的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(1)由于g(x)为奇函数,且定义域为R,
      ∴g(0)=0,即
      40-n
      20
      =0,解之得n=1,…(2分)
      由于f(x)=log
      4(4x+1)+mx,
      ∴f(-x)=log
      4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x,
      ∵f(x)=log
      4(4x+1)+mx是偶函数,
      ∴f(-x)=f(x),得到m=-
      1
      2
      ,由此可得:m+n的值为
      1
      2
      ;…(4分)
      (2)∵h(x)=f(x)+
      1
      2
      x=log4(4x+1),∴h[log4(2a+1)]=log4(2a+2),…(6分)
      又∵g(x)=
      4x-1
      2x
      =2x-2-x在区间[1,+∞)上是增函数,
      ∴当x≥1时,g(x)
      min=g(1)=
      3
      2
      …(8分)
      由题意得到
      {
      2a+2<4
      3
      2
      2a+1>0
      2a+2>0
      ,解之得-
      1
      2
      <a<3,得a的取值范围是:(-
      1
      2
      ,3).…(9分)
      (3)g(x)=2
      x-2-x在区间(-∞,+∞)上是增函数,
      又∵g(-x)=-g(x),得g(x)是奇函数,
      ∴不等式g(t
      2-2t)+g(2t2-k)>0等价于g(t2-2t)>-g(2t2-k)=g(-2t2+k)…(10分)
      由g(x)在R上是增函数得,t
      2-2t>-2t2+k对一切t∈R恒成立,…(12分)
      即3t
      2-2t-k>0对一切t∈R恒成立,,所以△=4+12k<0,解之得k<-
      1
      3
      …(14分)

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