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已知函数g(x)=4x-n2x是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数.(1)求m+n的值;(2)设h(x)=f(x)+12x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.(3)若对任意的t∈R,不等式g(t2-2t)+g(2t2-k)>0恒成立,求k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数g(x)=
4
x
-n
2
x
是奇函数,f(x)=log
4
(4
x
+1)+mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设h(x)=f(x)+
1
2
x,若g(x)>h[log
4
(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
(3)若对任意的t∈R,不等式g(t
2
-2t)+g(2t
2
-k)>0恒成立,求k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由于g(x)为奇函数,且定义域为R,
∴g(0)=0,即
4
0
-n
2
0
=0,解之得n=1,…(2分)
由于f(x)=log
4
(4
x
+1)+mx,
∴f(-x)=log
4
(4
-x
+1)-mx=log
4
(4
x
+1)-(m+1)x,
∵f(x)=log
4
(4
x
+1)+mx是偶函数,
∴f(-x)=f(x),得到m=-
1
2
,由此可得:m+n的值为
1
2
;…(4分)
(2)∵h(x)=f(x)+
1
2
x=log
4
(4
x
+1),∴h[log
4
(2a+1)]=log
4
(2a+2),…(6分)
又∵g(x)=
4
x
-1
2
x
=2
x
-2
-x
在区间[1,+∞)上是增函数,
∴当x≥1时,g(x)
min
=g(1)=
3
2
…(8分)
由题意得到
{
2a+2<4
3
2
2a+1>0
2a+2>0
,解之得-
1
2
<a<3,得a的取值范围是:(-
1
2
,3).…(9分)
(3)g(x)=2
x
-2
-x
在区间(-∞,+∞)上是增函数,
又∵g(-x)=-g(x),得g(x)是奇函数,
∴不等式g(t
2
-2t)+g(2t
2
-k)>0等价于g(t
2
-2t)>-g(2t
2
-k)=g(-2t
2
+k)…(10分)
由g(x)在R上是增函数得,t
2
-2t>-2t
2
+k对一切t∈R恒成立,…(12分)
即3t
2
-2t-k>0对一切t∈R恒成立,,所以△=4+12k<0,解之得k<-
1
3
…(14分)
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数学
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