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  • 已知f(x)=x2+13x+p是奇函数．（1）求实数p的值；（2）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=
      x2+1
      3x+p
      是奇函数．
      （1）求实数p的值；
      （2）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x）…（1分）
      即
      x2+1
      -3x+p
      =-
      x2+1
      3x+p
      ，…（2分）
      ∴
      x2+1
      -3x+p
      =
      x2+1
      -3x-p
      ，
      从而p=0； …（5分）
      （2）f(x)=
      x2+1
      3x
      在（-∞，1）上是单调增函数．…（6分）
      证明：f(x)=
      x2+1
      3x
      ，任取x1＜x2＜-1，则 …（7分）
      f(x      1)-f(x2)=
      x
      2
      1
      +1
      3x1
      -
      x
      2
      2
      +1
      3x2
      =
      x
      2
      1
      x2+x2-x
      2
      2
      x1-x1
      3x1x2
      …（8分）
      =
      x1x2(x1-x2)-(x1-x2)
      3x1x2
      =
      (x1-x2)(x1x2-1)
      3x1x2
      ，…（10分）
      ∵x      1＜x2＜-1，
      ∴x      1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，…（11分）
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      ∴f（x）在（-∞，-1）上是单调增函数．…（12分）
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