设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知f(1)=32，函数g（x）=a2x+a-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ?f（x）对x∈[-12，12]恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．
（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；
（2）已知f(1)=

，函数g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ?f（x）对x∈[-

，

]恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．

见解析

解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1．
此时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函数．
设x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=a^x₂-

a^x₂

-（a^x₁-

a^x₁

）=（a^x₂-a^x₁）（1+

a^x₂a^x₁

），
∵a＞1，x₂＞x₁，∴a^x₂＞a^x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上为增函数．
（2）∵f（1）=

，∴a-

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上为增函数，∴t∈[

，

]，
∴g（x）=Φ（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
当t=

时，g（x）有最大值

，当t=2时，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，

]．
（3）f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）?（4^x-4^-x），f（x）=4^x-4^-x，
假设存在满足条件的正整数λ，则（4^x+4^-x）?（4^x-4^-x）≥λ?（4^x-4^-x），
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈(0，

]时，4^x-4^-x＞0，则λ≤4^x+4^-x，
令μ=4^x，则μ∈（1，2]，易证z=μ+

在（1，2]上是增函数，
则λ≤z（1）=2；
③当x∈[-

，0)时，4^x-4^-x＜0，则λ≥4^x+

4^x

，
令μ=4^x，则μ∈[

，1)，易证z=μ+

在[

，1）上是减函数，
所以λ≥z（

）=

，
综上所述，知不存在正整数λ满足题意．

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