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  • 设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R
      （1）讨论f（x）的奇偶性；
      （2）求f（x）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x）
      此时，f（x）为偶函数
      当a≠0时，f（a）=a      2+1，f（-a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）
      此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数
      （2）①当x≤a时，f(x)=x      2-x+a+1=(x-
      1
      2
      )2+a+
      3
      4

      当a≤
      1
      2
      ，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1．
      若a＞
      1
      2
      ，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f(
      1
      2
      )=
      3
      4
      +a，且f(
      1
      2
      )≤f(a)．
      ②当x≥a时，函数f(x)=x      2+x-a+1=(x+
      1
      2
      )2-a+
      3
      4

      若a≤-
      1
      2
      ，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f(-
      1
      2
      )=
      3
      4
      -a，且f(-
      1
      2
      )≤f(a)
      若a＞-
      1
      2
      ，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1．
      综上，当a≤-
      1
      2
      时，函数f（x）的最小值为
      3
      4
      -a
      当-
      1
      2
      ＜a≤
      1
      2
      时，函数f（x）的最小值为a2+1
      当a＞
      1
      2
      时，函数f（x）的最小值为
      3
      4
      +a．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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