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  • 已知函数f（x）满足：对任意实数a、b都有f（a?b）=af（b）+bf（a）．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）设f(-12)=12，记an=f（2n），n∈N*，求数列{an}的前n项和Sn；（3）若对一切实数x，均有|f（x）|≤1，试证：?x∈R，f（x）=0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）满足：对任意实数a、b都有f（a?b）=af（b）+bf（a）．
      （1）求证：f（x）为奇函数；
      （2）设f(-
      1
      2
      )=
      1
      2
      ，记an=f（2n），n∈N*，求数列{an}的前n项和Sn；
      （3）若对一切实数x，均有|f（x）|≤1，试证：?x∈R，f（x）=0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由已知得f（0）=f（0×0）=0?f（0）+0?f（0）=0，
      又f（1）=f（1×1）=1?f（1）+1?f（1）=2f（1），∴f（1）=0
      又f（1）=f[（-1）?（-1）]=（-1）?f（-1）+（-1）?f（-1）=-2f（-1），∴f（-1）=0
      ∴f（-x）=f[（-1）?x]=-f（x）+xf（-1）=-f（x），∴f（x）为奇函数．

      （2）∵f(-1)=f(-
      1
      2
      ×2)=-
      1
      2
      f(2)+2f(-
      1
      2
      )=0，∴f(2)=4f(-
      1
      2
      )=2
      ∴a      n+1=f（2n+1）=f（2×2n）=2f（2n）+2nf（2）=2an+2n+1，
      ∴
      an+1
      2n+1
      -
      an
      2n
      =1，又∵
      a1
      2
      =
      f(2)
      2
      =1，
      ∴数列{
      an
      2n
      }是首项为1，公差为1的等差数列，∴
      an
      2n
      =n，an=n?2n（n∈N*），
      ∴S      n=1?2+2?22+3?23++n?2n，2Sn=1?22+2?23+3?24++（n-1）?2n+n?2n+1，
      ∴S      n=n?2n+1-（2+22+23++2n）=n?2n+1-2（2n-1）=（n-1）?2n+1+2．

      （3）记h(x)=
      {
      0，x=0
      f(x)
      x
      ，x≠0
      ，由（1）知，h（x）为偶函数，
      由f（ab）=af（b）+bf（a），得
      f(ab)
      ab
      =
      af(b)+bf(a)
      ab
      =
      f(a)
      a
      +
      f(b)
      b
      ，
      即h（ab）=h（a）+h（b），易知h（1）=0
      假设存在x      0≠0，使得h（x0）=t（t≠0），因h（x）为偶函数，故不妨设x0＞0．
      ①若x      0＞1，则当n∈N*时，h（x0n）=n?h（x0）=nt，即
      f(x0n)
      x0n
      =nt，
      ∴f（x      0n）=n?t?x0n，故必存在足够大的正整数n，使得|f（x0n）|=|n?t?x0n|＞1
      这与已知“对一切实数x，均有|f（x）|≤1”矛盾；
      ②若0＜x      0＜1，则由h(x0)+h(
      1
      x0
      )=h(1)=0得h(
      1
      x0
      )=-t(t≠0)
      同理可得，必存在足够大的正整数n，使得|f(
      1
      x0n
      )|=|n?t?
      1
      x0n
      |＞1
      这也与已知“对一切实数x，均有|f（x）|≤1”矛盾；
      综上所述，假设不能成立，故对一切实数x，f（x）恒为零．
      即：?x∈R，f（x）=0
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