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  • 已知函数f（x）=x+mx，且f（1）=2．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      m
      x
      ，且f（1）=2．
      （1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
      （2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x)=x+
      m
      x
      ，且f（1）=2，∴1+m=2，解得 m=1．
      函数y=f（x）为奇函数，
      证：∵f(x)=x+
      1
      x
      ，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
      又f(-x)=(-x)+
      1
      -x
      =-(x+
      1
      x
      )=-f(x)，所以y=f（x）为奇函数．
      （2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
      证明：设1＜x      1＜x2，则f(x2)-f(x1)=x2+
      1
      x2
      -(x1+
      1
      x1
      )=(x2-x1)(1-
      1
      x1x2
      )．
      ∵1＜x      1＜x2，
      ∴x      2-x1＞0，1-
      1
      x1x2
      ＞0，
      故f（x      2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
      故f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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