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  • 对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数f(x)=x+4x(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数g(x)=√x+4+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
      （Ⅰ）求“和谐”函数y=x      3符合条件的“和谐”区间；
      （Ⅱ）判断函数f(x)=x+
      4
      x
      (x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．
      （Ⅲ）若函数g(x)=
      √x+4
      +m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）因为y=x3是单调递增函数，
      所以有
      {
      a3=a
      b3=b
      a＜b
      ?
      {
      a=-1
      b=1
      {
      a=-1
      b=0
      {
      a=0
      b=1
      ，
      即[a，b]=[-1，1]或[a，b]=[-1，0]或[a，b]=[0，1]．
      （Ⅱ）函数f(x)=x+
      4
      x
      在（0，+∞）上不单调（说明），不是“和谐”函数．
      （Ⅲ）若g(x)=
      √x+4
      +m是“和谐”函数．
      设-4≤x      1＜x2，
      则g(x      1)-g(x2)=
      √x1+4
      -
      √x2+4
      =
      (x1+4)-(x2+4)
      √x1+4
      +
      √x2+4
      ＜0，
      所以g(x)=
      √x+4
      +m是单调递增函数．
      若它是“和谐”函数，则必具备方程x=
      √x+4
      +m有两个不相同的实数解，
      即方程x      2-（2m+1）x+m2-4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于-4和m．若令h（x）=x2-（2m+1）x+m2-4，
      则
      {
      △＞0
      2m+1
      2
      ＞-4
      h(-4)≥0x≥m
      ?m∈(-
      17
      4
      ，-4]．
      另解：方程x=
      √x+4
      +m有两个不相同的实数解，
      等价???两函数y      1=x-m与y2=
      √x+4
      的图象有两个不同的交点，当直线过（-4，0）时，m=-4；
      直线与抛物线相切时m=-
      17
      4
      ，∴m∈(-
      17
      4
      ，-4]．
      若它是“和谐”函数，则必具备方程x=
      √x+4
      +m有两个不相同的实数解，
      即方程x      2-（2m+1）x+m2-4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于-4和m．
      若令h（x）=x      2-（2m+1）x+m2-4，
      则
      {
      △＞0
      2m+1
      2
      ＞-4
      h(-4)≥0x≥m
      ?m∈(-
      17
      4
      ，-4]．
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