已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+1)＜f(1x-1)；（3）若f（x）≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f(x+1)＜f(

x-1

)；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）在[-1，1]上是增函数，
证明如下：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
于是有

f(x₁)-f(x₂)

x₁-x₂

f(x₁)+f(-x₂)

x₁+(-x₂)

＞0，
而x₁-x₂＜0，故f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[-1，1]上是增函数；（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：

{

-1≤x+1≤1

-1≤

x-1

≤1

x+1＜

x-1

{	-2≤x≤0 x≥2，或x≤0 x＜- √2 ，或1＜x＜ √2

?-2≤x＜-

√2

，
故不等式的解集为{x|-2≤x＜-

√2

}；（8分）
（3）由（1）知f（x）最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①当p∈[-1，0）时，m的取值范围为（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②当p∈（0，1]时，m的取值范围为（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③当p=0时，m的取值范围为R．（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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