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  • A．已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a，b，c∈Z)是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在[1，+∞）上递增．（1）求a，b，c的值；（2）当x＜0时，讨论f（x）的单调性．B．已知二次函数f（x）的图象开口向下，且对于任意实数x都有f（2-x）=f（2+x）求不等式：f[log12（x2+x+12）]＜f[log12（2x2-x+58）]的解．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      A．已知函数f(x)=
      ax2+1
      bx+c
      (a，b，c∈Z)是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在[1，+∞）上递增．
      （1）求a，b，c的值；
      （2）当x＜0时，讨论f（x）的单调性．

      B．已知二次函数f（x）的图象开口向下，且对于任意实数x都有f（2-x）=f（2+x）求不等式：f[log
      1
      2
      （x2+x+
      1
      2
      ）]＜f[log
      1
      2
      （2x2-x+
      5
      8
      ）]的解．

      试题解答

      见解析
      A、解：（1）∵f（x）为奇函数，
      故f（x）的定义域关于原点对称
      又f（x）的定义域为 {x|x≠-
      c
      b
      }（显然b≠0，否则f（x）为偶函数）
      ∴-
      c
      b
      =0，即c=0
      于是得 f(x)=
      a
      b
      x+
      1
      bx
      ，且
      a+1
      b
      =2，
      4a+1
      2b
      ＜3
      ∴
      8b-3
      2b
      ＜3
      ∴0＜b＜
      3
      2
      ，又b∈Z
      ∴b=1
      ∴a=1
      故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上单调递增
      （2）由（1）知 f(x)=x+
      1
      x
      ，
      f(x      1)-f(x2)=x1+
      1
      x1
      -x2-
      1
      x2
      =(x1-x2)(1-
      1
      x1x2
      )=
      x1-x2
      x1x2
      (x1x2-1)
      ①当-1＜x      1＜x2＜0时，显然x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0
      ∴f（x）为减函数
      ②当x      1＜x2＜-1时，显然x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      ∴f（x）为增函数
      综上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数．
      B、解：由题意二次函数f（x）图象开口向下，
      故在对称轴两边的图象是左降右升
      又对于任意实数x，都有f（2-x）=f（x+2），
      故此函数的对称轴方程是x=2
      由此知，函数f（x）在（-∞，2]上是增函数，在（2，+∞）是减函数，
      而x      2+x+
      1
      2
      =（x+
      1
      2
      ）2+
      1
      4
      ≥
      1
      4
      ，2x2-x+
      5
      8
      =2（x-
      1
      4
      ）2+
      1
      2
      ≥
      1
      2
      ，
      ∴log
      1
      2
      （x2+x+
      1
      2
      ）≤log
      1
      2
      1
      4
      =2，log
      1
      2
      （2x2-x+
      5
      8
      ）≤log
      1
      2
      1
      2
      =1，
      ∵f[log
      1
      2
      （x2+x+
      1
      2
      ）]＜f[log
      1
      2
      （2x2-x+
      5
      8
      ）]
      ∴log
      1
      2
      （x2+x+
      1
      2
      ）＜log
      1
      2
      （2x2-x+
      5
      8
      ），
      ∴x      2+x+
      1
      2
      ＞2x2-x+
      5
      8
      ，解得
      4-
      √14
      4
      ＜x＜
      4+
      √14
      4
      ，
      ∴不等式的解集为(
      4-
      √14
      4
      ，
      4+
      √14
      4
      )．
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