已知函数f（x）=aln（x+1）-x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=aln（x+1）-x²在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

解：∵

f(p+1)-f(q+1)

p-q

的几何意义为：
表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=

x+1

-2x＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x²+3x+1在[1，2]上取最大值为15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故选A．

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