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  • 已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，求f（x）的单调区间．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，求f（x）的单调区间．

      试题解答

      见解析
      解：∵f（x）=x|x-a|-lnx，
      ∴x＞0，
      ∴函数的定义域为（0，+∞）．下面分（1）a≤0，（2）a＞0两种情况进行讨论：
      （1）当a≤0时，f（x）=x      2-ax-lnx，
      f′(x)=2x-a-
      1
      x
      =
      2x2-ax-1
      x
      ，
      令f′（x）=0，得x=
      a+
      √a2+8
      4
      ＞a，或x=
      a-
      √a2+8
      4
      ＜a（舍），
      ∴f（x）=x|x-a|-lnx的增区间为[
      a+
      √a2+8
      4
      ，+∞），在区间（0，
      a+
      √a2+8
      4
      ）上是单调减函数；
      （2）当a＞0时，
      ①当x≥a时，      f′(x)=2x-a-
      1
      x
      =
      2x2-ax-1
      x
      ，
      令f′（x）=0，得      x1=
      a+
      √a2+8
      4
      或x2=
      a-
      √a2+8
      4
      （舍），
      （i）若
      a+
      √a2+8
      4
      ≤a，即a≥1时，f′（x）≥0，
      ∴f（x）在（a，+∞）上单调增．
      （ii）若
      a+
      √a2+8
      4
      ＞a，即0＜a＜1，
      则当x∈（0，x      1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．
      ∴f（x）在区间（0，
      a+
      √a2+8
      4
      ）上是单调减函数，在（
      a+
      √a2+8
      4
      ，+∞）上是单调增函数．
      ②当0＜x＜a时，f（x）=-x      2+ax-lnx，
      f′(x)=-2x+a-
      1
      x
      =
      -2x2+ax-1
      x
      ，
      令f′（x）=0，
      即-2x      2+ax-1=0，
      化简得：2x      2-ax+1=0，
      若△=a      2-8≤0，
      ∴0＜a≤2
      √2
      ，
      ∴f′（x）≤0，
      所以函数在（0，a）上为减函数；
      若△=a      2-8＞0，
      ∴a＞2
      √2
      ，
      ∵f′（x）=0，
      得x      3=
      a+
      √a2-8
      4
      ，x4=
      a-
      √a2-8
      4
      ，且0＜x3＜x4＜a，
      则当x∈（0，x      3）时，f′（x）＜0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0．
      当x∈（x      3，x4）时，f′（x）＞0．
      综上，当a＜1时，f（x）在区间（0，
      a+
      √a2+8
      4
      ）上是单调减函数，在（
      a+
      √a2+8
      4
      ，+∞）上是单调增函数．
      当1≤a≤2
      √2
      ，时，函数在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上单调增．
      当a＞2
      √2
      时，f（x）在区间（0，
      a-
      √a2-8
      4
      ）上是单调减函数，在（
      a+
      √a2-8
      4
      ，+∞）上是单调增函数．在区间（
      a-
      √a2-8
      4
      ，
      a+
      √a2-8
      4
      ），（a，+∞）上是单调增函数．
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