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  • 已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．（3）若m≥1，试求函数f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．
      （1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．
      （2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
      （3）若m≥1，试求函数f（x）的值域．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）当m＜1时，f（x）=x（3-x2）=3x-x3．
      因为f′（x）=3-3x      2=3（1-x2）＞0．
      所以f（x）是增函数．
      解：（2）令g（x）=x|x      2-3|，x≥0．
      则g（x）=
      {
      3x-x3，0≤x≤
      √3
      x3-3x，x＞
      √3
      ，
      当0＜x＜
      √3
      时，由g′（x）=3-3x2=0得x=1，
      所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，
      √3
      ]上是减函数．
      当x＞
      √3
      时，g′（x）=3x2-3＞0，所以g（x）在[
      √3
      ，+∞）上是增函数．
      所以当x∈[0，
      √3
      ]时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（
      √3
      ）=0．
      从而0＜m＜1不符合题意，1≤m≤
      √3
      符合题意．
      当m＞
      √3
      时，在x∈[0，
      √3
      )时，f（x）∈[0，2]；
      在x∈[
      √3
      ，m]时，f（x）∈[0，f（m）]．
      这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2，
      即m      3-3m≤2，（m-2）（m+1）2≤0，解得
      √3
      ＜m≤2．
      综上所述，m的取值范围是[1，2]．
      （3）由（2）知，当1≤m≤2时，f（x）在[0，m]上的最大值为f（1）=2，最小值为f（0）=0，
      ∴f（x）在[0，m]上的值域为[0，2]．
      当m＞2时，f（x）在[
      √3
      ，m]上单调递增，
      f(x)      max=f(m)=m3-3m，
      ∴f（x）在[0，m]的值域为[0，m      3-3m]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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