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函数f(x)=2x-12x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的值域；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）证明f（-x）=-f（x）；（4）对f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0 求m值的集合M．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）证明f（-x）=-f（x）；
（4）对f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0 求m值的集合M．

见解析

解：（1）f（x）=1-

2^x+1

，
因为2^x＞0，所以0＜

2^x+1

＜2，-2＜-

2^x+1

＜0，
所以-1＜1-

2^x+1

＜1，即-1＜f（x）＜1，
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（2）f（x）为增函数，下面证明：
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2^x₁+1

）-（1-

2^x₂+1

）=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2^x₁＜2^x₂，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）为增函数；
证明：（3）f（-x）=

2^-x-1

2^-x+1

1-2^x

1+2^x

2^x-1

2^x+1

=-f（x），
所以原式成立；
（4）f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²），
由（3）知-f（1-m²）=f（m²-1），
所以f（1-m）＜f（m²-1），
又由（2）知f（x）单调递增，
所以有

{	-1＜1-m＜1 -1＜m²-1＜1 1-m＜m²-1

，解得1＜m＜

√2

．
所以实数m的集合M={m|1＜m＜

√2

}．

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