已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；（3）若n为正整数，证明：10f( n )?( 45 )g( n )＜4．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明：10^{f( n )}?(

)^{g( n )}＜4．

见解析

解：（1）由题意，f（0）=g（0），
|a|=1又a＞0，
所以a=1．
（2）f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
当x≥1时，f（x）+g（x）=x²+3x，它在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）+g（x）=x²+x+2，它在[ -

， 1 )上单调递增．
（3）设c_n=10^{f( n )}?(

)^{g( n )}，考查数列{c_n}的变化规律：
解不等式

c_n+1

c_n

＜1，由c_n＞0，上式化为10?(

)²ⁿ⁺³＜1
解得n＞

2lg0.8

≈3.7，因n∈N得n≥4，于是，c₁≤c₂≤c₃≤c₄，而c₄＞c₅＞c₆＞…
所以，10^{f( n )}?(

)^{g( n )}≤10^{f( 4 )}?(

)^{g( 4 )}=10³?(

)²⁵＜4．

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