• 已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.(1)求a的值;(2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间;(3)若n为正整数,证明:10f( n )?( 45 )g( n )<4.试题及答案-单选题-云返教育

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      已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.
      (1)求a的值;
      (2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间;
      (3)若n为正整数,证明:10
      f( n )?(
      4
      5
      )g( n )<4.

      试题解答


      见解析
      解:(1)由题意,f(0)=g(0),
      |a|=1又a>0,
      所以a=1.
      (2)f(x)+g(x)=|x-1|+x
      2+2x+1
      当x≥1时,f(x)+g(x)=x
      2+3x,它在[1,+∞)上单调递增;
      当x<1时,f(x)+g(x)=x
      2+x+2,它在[ -
      1
      2
      , 1 )上单调递增.
      (3)设
      cn=10f( n )?(
      4
      5
      )g( n ),考查数列{cn}的变化规律:
      解不等式
      cn+1
      cn
      <1,由cn>0,上式化为10?(
      4
      5
      )2n+3<1
      解得n>
      1
      2lg0.8
      -
      3
      2
      ≈3.7,因n∈N得n≥4,于是,c1≤c2≤c3≤c4,而c4>c5>c6>…
      所以,10
      f( n )?(
      4
      5
      )g( n )≤10f( 4 )?(
      4
      5
      )g( 4 )=103?(
      4
      5
      )25<4.
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