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  • 已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+64n]内，总存在m+1个数a1，a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      t
      x
      (t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
      （1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
      （2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
      （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+
      64
      n
      ]内，总存在m+1个数a1，a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当t=2时，f(x)=x+
      2
      x
      ，f′(x)=1-
      2
      x2
      =
      x2-2
      x2
      ＞0解得x＞
      √2
      ，或x＜-
      √2
      ．
      ∴函数f（x）有单调递增区间为(-∞，
      √2
      )，(
      √2
      ，+∞)
      （2）设M、N两点的横坐标分别为x      1、x2，
      ∵f′(x)=1-
      t
      x2
      ，∴切线PM的方程为：y-(x1+
      t
      x1
      )=(1-
      t
      x
      2
      1
      )(x-x1)．
      又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-(x      1+
      t
      x1
      )=(1-
      t
      x
      2
      1
      )(1-x1)．
      即x      12+2tx1-t=0．（1）
      同理，由切线PN也过点（1，0），得x      22+2tx2-t=0．（2）
      由（1）、（2），可得x      1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，
      ∴
      {
      x1+x2=-2t
      x1?x2=-t.
      (*)
      |MN|=
      √(x1-x2)2+(x1+
      t
      x1
      -x2-
      t
      x2
      )2
      =
      √(x1-x2)2[1+(1-
      t
      x1x2
      )2]
      =
      √[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
      t
      x1x2
      )2]

      把（*）式代入，得|MN|=
      √20t2+20t
      ，
      因此，函数g（t）的表达式为g（t）=
      √20t2+20t
      （t＞0）
      （3）易知g（t）在区间[2，n+
      64
      n
      ]上为增函数，
      ∴g（2）≤g（a      i）（i=1，2，m+1）．
      则m?g（2）≤g（a      1）+g（a2）++g（am）．
      ∵g（a      1）+g（a2）++g（am）＜g（am+1）对一切正整数n成立，
      ∴不等式m?g（2）＜g（n+
      64
      n
      ）对一切的正整数n恒成立m
      √20×22+20×2
      ＜
      √20(n+
      64
      n
      )2+20(n+
      64
      n
      )
      ，
      即m＜
      √
      1
      6
      [(n+
      64
      n
      )2+(n+
      64
      n
      )]
      对一切的正整数n恒成立
      ∵n+
      64
      n
      ≥16，
      ∴
      √
      1
      6
      [(n+
      64
      n
      )2+(n+
      64
      n
      )]
      ≥
      √
      1
      6
      [162+16]
      =
      √
      136
      3
      ．
      ∴m＜
      √
      136
      3
      ．
      由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a      1=a2═am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．
      因此，m的最大值为6．
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