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  • 已知二次函数f(x)=ax2+bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点，(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)= f(x)++x2在 (0，]上是单调减函数，求实数k的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在区间[m，n](m′试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f(x)=ax2+bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点，
      (1)求f(x)的解析式；
      (2)若函数g(x)= f(x)+      +x2在 (0，]上是单调减函数，求实数k的取值范围；
      (3)在(2)的条件下，是否存在区间[m，n](m′

      试题解答

      见解析
      (1)f(x+1) =a(x+1)2+b(x+1) = ax2+(2a+b)x+a+b为偶函数，
      ∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f(x)=ax      2-2ax，…………………………………………………………2′
      ∵函数f(x)有且仅有一个不动点，∴方程f(x)=x有且仅有一个解，∴ax      2-(2a+1)x=0有且仅有一个解，∴2a+1=0，a=-，∴f(x)= -x2+x…………………………………………………5′
      (2) g(x)= f(x)+      +x2=x+在 (0，]上是单调增函数，
      当k      0时，g(x)= x+在(0，+)上是单调增函数，∴不成立；……………………………7′
      当k>0时，g(x)= x+      在(0，]上是单调减函数，∴，∴k…………………10′
      (3) ∵f(x)= -      x2+x= -(x-1)2+，∴kn，∴n<1，
      ∴f(x)在区间[m，n]上是单调增函数…………………………………………………………11′
      ∴      ，即，方程的两根为0，2-2k………………12′
      当2-2k>0，即      k<1时，[m，n]= [0，2-2k]………………………………………………13′当2-2k<0，即k>1时，[m，n]= [2-2k，0]……………………………………………………14′
      当2-2k=0，即k=1时，[m，n] 不存在…………………………………………………………15′
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      必修1人教A版单选题高中数学

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