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已知f（x）=log2x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=gn（x）的图象上运动（n∈N）．（1）求y=gn（x）的解析式；（2）求集合A={a|关于x的方程g1（x+2）=g2（x+a）有实根，a∈R}；（3）设Hn(x)=(12)gn(x)，函数F（x）=H1（x）-g1（x），（0＜a≤x≤b）的值域为[-12，3]，求证：a=12，b=2．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，a∈R}；
（3）设H_n(x)=(

)^g_n(x)，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为[-

，3]，
求证：a=

，b=2．

试题解答

见解析

解：（1）由条件知

{	y=f(x) ny=g_n(x)

，又f（x）=log₂x∴解析式g_n（x）=nlog₂x．
（2）∵方程g₁（x+2）=g₂（x+a），即

√x+2

=x+a，
∴求集合A就是求方程

√x+2

=x+a有实根时a的范围．
而a=

√x+2

-x=-(

√x+2

)²+

≤

，
∴a≤

时原方程总有实根，

∴集合A=(-∞，

]．

（3）∵H_n(x)=(

)^nlog₂x=

xⁿ

∴F(x)=

-log₂x，(0＜a≤x≤b)，
又F^′(x)=-

x²

xln2

＜0， ∴F(x)在[a，b]上递减，
∴

{

F(a)=3

F(b)=-

，即

{

-3=log

₂

=log₂b

①，
由y=

+t与y=log₂x的图象只有唯一交点知：方程

+t=log₂x只有唯一解，
经检验

{

b=2

是方程组①的唯一解，故得证．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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