见解析
abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004
ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）=2004
（c+1）（ab+a+b+1）=2004
（a+1）（b+1）（c+1）=2004
因为a、b、c都是正整数，
那么a+1、b+1、c+1也都是正整数，且它们都大于1
而2004=2×2×3×167
现在要把2004写成3个正整数的乘积，只有下面4种情况：
1，2004=2×6×167，此时a+1+b+1+c+1=2+6+167=175，那么a+b+c=172；
2，2004=2×3×334，此时a+1+b+1+c+1=2+3+334=339，那么a+b+c=336；
3，2004=2×2×501，此时a+1+b+1+c+1=2+2+501=505，那么a+b+c=502；
4，2004=4×3×167，此时a+1+b+1+c+1=4+3+167=174，那么a+b+c=171
所以最小的是第4种情况，即a+b+c的最小值为171，
答：a+b+c的最小值是171．
