• 如图,已知圆C的方程为:x2+y2-6x-8y+21=0,平面上有A(1,0)和B(-1,0)两点.(I)在圆上求一点Q,使△ABQ的面积最大,并求出最大面积;(II)在圆上求一点P,使|AP|2+|BP|2取得最小值.试题及答案-解答题-云返教育

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      如图,已知圆C的方程为:x2+y2-6x-8y+21=0,平面上有A(1,0)和B(-1,0)两点.
      (I)在圆上求一点Q,使△ABQ的面积最大,并求出最大面积;
      (II)在圆上求一点P,使|AP|
      2+|BP|2取得最小值.

      试题解答


      见解析
      (I)圆C化为标准方程为:(x-3)2+(y-4)2=4,C坐标是(3,4),|AB|=2
      ∵S
      △ABQ=|AB|×|yQ|,
      ∴Q的纵坐标最大值时,面积最大
      ∵C坐标是(3,4),∴Q纵坐标为:4+2=6即Q(3,6)时,面积的最大值是6;
      (II)设P(x,y),则|AP|
      2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2
      要使|AP|
      2+|BP|2取得最小值,只要使|OP|2最小即可
      ∵P为圆上的点,∴点P为OC连线于圆C的交点
      直线OC:y=
      x,与(x-3)2+(y-4)2=4联立,可得25x2-150x+189=0
      ∴x=
      或x=>3(舍去)
      ∴y=

      ∴P的坐标为(
      ).

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