如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．（1）求证：AD=BC；（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．
（1）求证：AD=BC；
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．

见解析

证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，
∵AB∥CD

∴四边形ABMC为平行四边形，
∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，
在△ACD和△BDC中，

{	AC=BD ∠ACD=∠BDC CD=DC

，
∴△ACD≌△BDC（SAS），
∴AD=BC；

（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，
∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，

∴HE∥AD，且HE=

AD，FG∥AD，且FG=

AD，
∴四边形HFGE为平行四边形，
由（1）知，AD=BC，
∴HE=EG，
∴?HFGE为菱形，
∴EF与GH互相垂直平分．

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