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  • 如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．

      （1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a      1；
      （2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a      2；
      （3）如题图，求正三角形的边长a      n（用含n的代数式表示）

      试题解答

      见解析
      解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O．
      ∵△PB1C1是等边三角形，
      ∴A      1D=PB1?sin∠PB1C1=a1?sin60°=
      √3
      2
      a1，
      ∴OD=A      1D-OA1=
      √3
      2
      a1-1，
      在△OB      1D中，OB12=B1D2+OD2，
      ∴OD=A      1D-OA1=
      √3
      2
      a1-1，
      即1      2=（
      1
      2
      a1）2+（
      √3
      2
      a1-1）2，
      解得a      1=
      √3
      ；

      （2）设PQ与B      2C2交于点E，连接B2O．
      ∵△A      2B2C2是等边三角形，
      ∴A      2E=A2B2?sin∠A2B2C2=a2?sin60°=
      √3
      2
      a2，
      ∵△PB      1C1是与△A2B2C2边长相等的正三角形，
      ∴PA      2=A2E=
      √3
      2
      a2，
      OE=A      1E-OA1=
      √3
      a2-1，
      在△OB      2E中，OB22=B2E2+OE2，
      即1      2=（
      1
      2
      a2）2+（
      √3
      a2-1）2，
      解得a      2=
      8
      √3
      13
      ；

      （3）设PQ与B      nCn交于点F，连接BnO，
      得出OF=A      1F-OA1=
      √3
      2
      nan-1，
      同理，在△OB      nF中，OBn2=BnF2+OF2，
      即1      2=（
      1
      2
      an）2+（
      √3
      2
      nan-1）2，
      解得a      n=
      4
      √3
      n
      3n2+1
      ．
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