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  • 如图，△ABC内接于⊙O，AD为边BC上的高．（1）若AB=6，AC=4，AD=3，求⊙O的直径AE的长度；（2）若AB+AC=10，AD=4，求⊙O的直径AE的长的最大值，并指出此时边AB的长．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，△ABC内接于⊙O，AD为边BC上的高．
      （1）若AB=6，AC=4，AD=3，求⊙O的直径AE的长度；
      （2）若AB+AC=10，AD=4，求⊙O的直径AE的长的最大值，并指出此时边AB的长．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：连接BE．
      ∵AE是直径，AD⊥BC，
      ∴∠ABE=90°=∠ADC．
      又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角相等），
      ∴△ABE∽△ADC．
      ∴
      AC
      AE
      =
      AD
      AB
      ，
      ∴AC?AB=AE?AD．
      ∴AE=
      AC?AB
      AD
      =
      6×4
      3
      =8，

      （2）解：∵AB+AC=10，
      ∴AC=10-AB，
      ∵AD=4，
      由（1）中AC?AB=AE?AD，
      ∴AE=
      AB(10-AB)
      4
      =-
      AB 2
      4
      +
      5
      2
      AB=-
      1
      4
      （AB-5）2+
      25
      4
      ，
      ∴⊙O的直径AE的长的最大值为：
      25
      4
      ，此时边AB的长为5．
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