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  • 已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
      （1）求直线AC的解析式；
      （2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．

      试题解答

      见解析
      解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，
      在Rt△OCA中，AC=
      √52-42
      =3，
      ∴5×CE=3×4，
      ∴CE=
      12
      5
      ，
      在Rt△OCE中，OE=
      √42-(
      12
      5
      )2
      =
      16
      5
      ，
      ∴C（
      16
      5
      ，
      12
      5
      ），A（5，0），
      ∴y=-
      4
      3
      x+
      20
      3
      ；

      （2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，
      故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
      当t＞2.5时，
      ①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OCA，
      故
      AQ
      AP
      =
      OA
      OC
      =
      5
      4
      ，
      ∴
      t
      2t-5
      =
      5
      4
      ，
      ∴t=
      25
      6
      ，
      ∵t＞2.5，
      ∴t=
      25
      6
      符合条件．
      ②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，
      故
      AQ
      AP
      =
      OC
      OA
      =
      4
      5
      ，
      ∴
      t
      2t-5
      =
      4
      5
      ，
      ∴t=
      20
      3
      ，
      ∵t＞2.5，
      ∴t=
      20
      3
      符合条件．
      综上可知，当t=
      25
      6
      或
      20
      3
      时，△OAC与△APQ相似．
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