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  • （2009?铁岭）如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延长线上一点，BE=103．判断直线DE与半圆O的位置关系，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2009?铁岭）如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延长线上一点，BE=
      10
      3
      ．判断直线DE与半圆O的位置关系，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：直线DE与半圆O相切．（1分）
      证法一：
      连接OD，作OF⊥CD于点F．
      ∵CD=6，
      ∴DF=
      1
      2
      CD=3．（2分）
      ∵OE=OB+BE=5+
      10
      3
      =
      25
      3
      ．（3分）
      ∴
      DF
      OD
      =
      3
      5
      ，
      OD
      OE
      =
      5
      25
      3
      =
      3
      5
      ，
      ∴
      DF
      OD
      =
      OD
      OE
      ．（6分）
      ∵CD∥AB，
      ∴∠CDO=∠DOE．（7分）
      ∴△DOF∽△OED，（8分）
      ∴∠ODE=∠OFD=90°，
      ∴OD⊥DE，
      ∴直线DE与半圆O相切．（10分）

      证法二：连接OD，作OF⊥CD于点F，作DG⊥OE于点G．
      ∵CD=6，
      ∴DF=
      1
      2
      CD=3．
      在Rt△ODF中，OF=
      √OD2-DF2
      =
      √52-32
      =4，（3分）
      ∵CD∥AB，DG⊥AB，OF⊥CD，
      ∴四边形OFDG是矩形，
      ∴DG=OF=4，OG=DF=3．
      ∵OE=OB+BE=5+
      10
      3
      =
      25
      3
      ，GE=OE-OG=
      25
      3
      -3=
      16
      3
      ，（5分）
      在Rt△DGE中，DE=
      √DG2+GE2
      =
      √42+(
      16
      3
      )2
      =
      20
      3
      ．
      ∵(
      20
      3
      )2+52=(
      25
      3
      )2，
      ∴OD      2+DE2=OE2，（8分）
      ∴CD⊥DE．
      ∴直线DE与半圆O相切．（10分）
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      九年级下浙教版解答题初学数学

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