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如图,在平面直角坐标系中,点A(-6,0)、点C(0,4),四边形OABC是矩形,以点O为圆心的⊙O过点D(√3,0),点P从点O出发,沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度运动,直线l为AP的垂直平分线,垂足为E,设运动时间为t秒.(1)当t为何值时,AP与⊙O相切?(2)请你探究当直线l与⊙O相切时t的值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
如图,在平面直角坐标系中,点A(-6,0)、点C(0,4),四边形OABC是矩形,以点O为圆心的⊙O过点D(
√
3
,0),点P从点O出发,沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度运动,直线l为AP的垂直平分线,垂足为E,设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,AP与⊙O相切?
(2)请你探究当直线l与⊙O相切时t的值.
试题解答
见解析
(1)设AP与⊙O相切于点H,如图,
连接OH,则OH⊥AP,
∴AH=
√
OA
2
-OH
2
=
√
6
2
-
(
√
3
)
2
=
√
33
,
由△AHO∽△AOP得
OH
OP
=
AH
OA
,
∴
√
3
OP
=
√
33
6
,
则OP=
6
√
11
11
,
∴t=
6
√
11
11
.
(2)①设直线l与⊙O相切于点F,当P在OC上时,如图,连接OF,
设OG=x,AE=y,则AG=6-x,AP=2y.
由△OFG∽△AEG,得
OF
AE
=
OG
AG
,即
√
3
y
=
x
6-x
,
由△AEG∽△AOP得
AE
AO
=
AG
AP
,即
y
6
=
6-x
2y
,解得
{
x=2
y=2
√
3
,
(或△OFG∽△AOP得
AP
OG
=
AO
OF
,即
2y
x
=
6
√
3
)
∴OP=
√
(2y)
2
-6
2
=
√
(4
√
3
)
2
-6
2
=2
√
3
,即t=2
√
3
.
②当P在AB上时,如图,AE=OQ=
√
3
,∴AP=2AE=2
√
3
,t=4+6+4-2
√
3
=14-2
√
3
.
③当P在BC上时,则连接AP,做它的中垂线,是和圆相交,故不成立.
综上,当t=2
√
3
或14-2
√
3
时,直线l与⊙O相切.
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