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  • 如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，0）、点C（0，4），四边形OABC是矩形，以点O为圆心的⊙O过点D（√3，0），点P从点O出发，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度运动，直线l为AP的垂直平分线，垂足为E，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，AP与⊙O相切？（2）请你探究当直线l与⊙O相切时t的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，0）、点C（0，4），四边形OABC是矩形，以点O为圆心的⊙O过点D（
      √3
      ，0），点P从点O出发，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度运动，直线l为AP的垂直平分线，垂足为E，设运动时间为t秒．
      （1）当t为何值时，AP与⊙O相切？
      （2）请你探究当直线l与⊙O相切时t的值．

      试题解答

      见解析
      （1）设AP与⊙O相切于点H，如图，
      连接OH，则OH⊥AP，
      ∴AH=
      √OA2-OH2
      =
      √62-(
      √3
      )2
      =
      √33
      ，
      由△AHO∽△AOP得
      OH
      OP
      =
      AH
      OA
      ，
      ∴
      √3
      OP
      =
      √33
      6
      ，
      则OP=
      6
      √11
      11
      ，
      ∴t=
      6
      √11
      11
      ．

      （2）①设直线l与⊙O相切于点F，当P在OC上时，如图，连接OF，
      设OG=x，AE=y，则AG=6-x，AP=2y．
      由△OFG∽△AEG，得
      OF
      AE
      =
      OG
      AG
      ，即
      √3
      y
      =
      x
      6-x
      ，
      由△AEG∽△AOP得
      AE
      AO
      =
      AG
      AP
      ，即
      y
      6
      =
      6-x
      2y
      ，解得
      {
      x=2
      y=2
      √3
      ，
      （或△OFG∽△AOP得
      AP
      OG
      =
      AO
      OF
      ，即
      2y
      x
      =
      6
      √3
      ）
      ∴OP=
      √(2y)2-62
      =
      √(4
      √3
      )2-62
      =2
      √3
      ，即t=2
      √3
      ．
      ②当P在AB上时，如图，AE=OQ=
      √3
      ，∴AP=2AE=2
      √3
      ，t=4+6+4-2
      √3
      =14-2
      √3
      ．
      ③当P在BC上时，则连接AP，做它的中垂线，是和圆相交，故不成立．
      综上，当t=2
      √3
      或14-2
      √3
      时，直线l与⊙O相切．
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