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  • （2010?本溪）如图，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O弦，点D是⌒ABC的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G．（1）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=43，求AG与GM的比．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?本溪）如图，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O弦，点D是⌒ABC的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G．
      （1）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
      （2）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=
      4
      3
      ，求AG与GM的比．

      试题解答

      见解析
      解：（1）ME=MG成立，理由如下：
      如图，连接EO，并延长交⊙O于N，连接BC；
      ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥DE，
      ∴      ⌒AD=⌒AE，
      ∵点D是      ⌒ABC的中点，
      ∴      ⌒AD=⌒DBC，
      ∴      ⌒AE=⌒DBC，
      ∴      ⌒AC=⌒DBE，即AC=DE，∠N=∠B；
      ∵ME是⊙O的切线，
      ∴∠MEG=∠N=∠B，
      又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE，
      ∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG．

      （2）由相交弦定理得：DF      2=AF?FB=3×
      4
      3
      =4，即DF=2；
      故DE=AC=2DF=4；
      ∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°，
      ∴△AFG∽△ACB，
      ∴
      AG
      AB
      =
      AF
      AC
      ，即
      AG
      3+
      4
      3
      =
      3
      4
      ，
      解得AG=
      13
      4
      ，GC=AC-AG=
      3
      4
      ；
      设ME=MG=x，则MC=x-
      3
      4
      ，MA=x+
      13
      4
      ，
      由切割线定理得：ME      2=MC?MA，即x2=（x-
      3
      4
      ）（x+
      13
      4
      ），
      解得MG=x=
      39
      40
      ；
      ∴AG：MG=
      13
      4
      ：
      39
      40
      =10：3，即AG与GM的比为
      10
      3
      ．
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      九年级下浙教版解答题初学数学

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