已知函数f（x）=x2+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-2af（x）（1）若a=3，求函数G（x）的最小值；（2）是否存在实数a使得G（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）为增函数？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-2af（x）
（1）若a=3，求函数G（x）的最小值；
（2）是否存在实数a使得G（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）为增函数？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解（1）；∵函数f（x）=x²+1，
∴g（x）=f[f（x）]
=f（x²+1）=（x²+1）²+1
=x⁴+2x²+2，
当a=3时，
G（x）=g（x）-2af（x）
=x⁴-4x²-4，
∴G′（x）=4x³-8x，令G′（x）=0，解得：x=-1，x=0，x=1，
在（-∞，-1）上，G（x）递减，在（-1，0）上，G（x）递增，
∴G（-1）是极小值，G（-1）=-7；
在（0，1）上，G（x）递减，在（1，+∞）上，G（x）递增，
∴G（1）是极小值，G（1）=-7；
∴G（x）的最小值是-7．
（2）由（1）得：g（x）=x⁴+2x²+2，
∴G（x）=x⁴+2x²+2-2a（x²+1）
=x⁴+（1-2a）x²+（2-2a），
∴G′（-1）=0，解得；a=

，
∴存在a=

，使得G（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）为增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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