函数f（x）的定义域是R，对任意实数a，b都有f（a）+f（b）=f（a+b）．当x＞0时，f（x）＞0且f（2）=3．（1）判断的奇偶性、单调性；（2）求在区间[-2，4]上的最大值、最小值；（3）当θ∈[0，π2]时，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有θ都成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）的定义域是R，对任意实数a，b都有f（a）+f（b）=f（a+b）．当x＞0时，f（x）＞0且f（2）=3．
（1）判断的奇偶性、单调性；
（2）求在区间[-2，4]上的最大值、最小值；
（3）当θ∈[0，

]时，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有θ都成立，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）令a=b=0，f（0）=0
令a=x，b=-x
∴f（x）+f（-x）=f（0）
∴f（x）为奇函数
令a+b=x₁，b=x₂且x₁＞x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0
∴是增函数
（2）由（1）知是增函数
所以，当x=-2时取得取小值-3；当x=4时取得最大值f（4）=2f（2）=6
（3）由题意：当θ∈[0，

]时，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有θ都成立
可转化为：2（cosθ）²-2mcosθ+4m-4＞0，当θ∈[0，

]时恒成立
令t=cosθ∈[0，1]则转化为：2t²-2mt+4m-4＞0，t∈[0，1]恒成立
令g（t）=2t²-2mt+4m-4

{

g(0)＞0

g(1)＞0

) ＞0

解得：m＞4+2

√2

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必修1 人教A版单选题高中数学

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