已知a＞0且a≠1，f(logax)=a(x2-1)x(a2-1)．试判断f（x）在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知a＞0且a≠1，f(log_ax)=

a(x²-1)

x(a²-1)

．
试判断f（x）在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．

见解析

解：是增函数．证明如下：
设t=log_ax，则x=a^t，
∴f(t)=

a²-1

a^2t-1

a^t

，
即f(t)=

a²-1

(a^t-a^-t)．
∴f(t)=

a²-1

(a^x-a^-x)．
∵f（x）的定义域为R，
设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

a²-1

[(a^x₁-a^-x₁)-(a^x₂-a^-x₂)]=

a²-1

(a^x₁-a^x₂)(1+a^x₁a^x₂)

a^x₁?a^x₂

．
∵a＞0，a≠1，
∴a^x₁a^x₂＞0，1+a^x₁a^x₂＞0．
若0＜a＜1，则a^x₁＞a^x₂，a^x₁-a^x₂＞0．
此时

a²-1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）???
同理，若a＞1，则f（x₁）＜f（x₂）．
综上所述，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上单调递增．

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