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  • 已知函数f（x）=g（x）+h（x），其中，g（x）是正比例函数，h（x）是反比例函数，且函数f（x）的图象经过A（1，3）、B（12，3）两点．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=g（x）+h（x），其中，g（x）是正比例函数，h（x）是反比例函数，且函数f（x）的图象经过A（1，3）、B（
      1
      2
      ，3）两点．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）用定义证明：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设g（x）=ax（a≠0），h（x）=
      b
      x
      （b≠0），则f（x）=ax+
      b
      x
      ，
      ∵f（x）的图象经过A（1，3）、B（
      1
      2
      ，3）两点．
      ∴f（1）=3，f（
      1
      2
      ）=3，即
      {
      a+b=3
      1
      2
      a+2b=3
      ，解得
      {
      a=2
      b=1
      ，
      ∴f（x）=2x+
      1
      x
      ；
      （2）设任意x      1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（2x1+
      1
      x1
      ）-（2x2+
      1
      x2
      ）=2（x1-x2）+
      x2-x1
      x1x2
      =
      (x1-x2)(2x1x2-1)
      x1x2
      ，
      ∵1≤x      1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，2x1x2-1＞0，x1x2＞0，
      ∴f（x      1）-f???x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
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