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  • 设函数f（x）=ax+a+1x，（a＞0），g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．（1）求a的值；（2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x），其中x∈（0，+∞），k∈R，判断并证明h（x）在（0，+∞）的单调性；（3）若存在区间[m，n]，使得h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=ax+
      a+1
      x
      ，（a＞0），g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
      （1）求a的值；
      （2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x），其中x∈（0，+∞），k∈R，判断并证明h（x）在（0，+∞）的单调性；
      （3）若存在区间[m，n]，使得h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）=g（x），即ax+
      a+1
      x
      =4-x，
      ∴（a+1）x      2-4x+a+1=0（x≠0），
      ∵满足f（x）=g（x）的x有且只有一个，
      ∴△=16-4（a+1）      2=0，解得a=1
      当a=1时，f（x）=g（x）化为2x      2-4x+2=0，解得x=1≠0，
      ∴a=1；
      （2）h（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
      由（1）知f（x）=x+
      2
      x
      ，且g（x）=4-x，
      ∴h（x）=k-f（x）-g（x）=k-x-
      2
      x
      -4+x=-
      2
      x
      +k-4，
      任取x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      则h（x      1）-h（x2）=（-
      2
      x1
      +k-4）-（-
      2
      x2
      +k-4）=
      2(x1-x2)
      x1x2
      ，
      ∵x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，x1x2＞0，
      ∴h（x      1）-h（x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），
      ∴h（x）在（0，+∞）上为增函数；
      （3）存在区间[m，n]，使得h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，即在[m，n]上h（x）      min=m，h（x）max=n，
      ∵0＜m＜n，∴由（2）知h（x）在[m，n]上单调递增，
      ∴h（x）      min=h（m）=-
      2
      m
      +k-4=m，h（x）max=h（n）=-
      2
      n
      +k-4=n，
      问题等价于方程-
      2
      x
      +k-4=x在（0，+∞）上有两个不等实根，也即方程k-4=x+
      2
      x
      在（0，+∞）上有两个不等实根，
      ∵x＞0时???x+
      2
      x
      在（0，
      √2
      ）上递减，在（
      √2
      ，+∞）上递增，且x+
      2
      x
      ≥2
      √2
      ，当且仅当x=
      √2
      时取等号，
      ∴k-4＞2
      √2
      ，即k＞4+2
      √2
      ，
      故所求k的取值范围时（4+2
      √2
      ，+∞）．
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