已知函数f(x)=2a+1a-1a2x，x∈[m，n]（m＜n）．（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

2a+1

a²x

，x∈[m，n]（m＜n）．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

见解析

解：（1）∵[m，n]?（-∞，0）∪（0，+∞）∴m＜n＜0或0＜m＜n
对?x₁、x₂∈[m，n]，当x₁＜x₂时，f(x₁)-f(x₂)=-

a²

(

x₁

x₂

)=-

a²

x₁-x₂

x₁x₂

∵m＜x₁＜x₂＜n，
∴x₁x₂＞0且x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）∵f（x）在[m，n]上单调递增，
∴f（x）在[m，n]上的值域为[f（m），f（n）]
∴f（m）=m且f（n）=n，
∴f（x）=x有两相异的同号根m、n
即

2a+1

a²x

=x，a²x²-a(2a+1)x+1=0 需

{

△=a²(2a+1)²-4a²＞0

mn=

a²

＞0

，
∴a＞

或a＜-

．

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