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  • 已知函数f(x)=x-1x+2（1）判断函数f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；（2）函数g（x）=log2f（x），x∈[-5，-3]的值域为A，且CRB={x|x＞2a-1或x＜a}（a为常数），若A∩B=B，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x-1
      x+2

      （1）判断函数f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；
      （2）函数g（x）=log      2f（x），x∈[-5，-3]的值域为A，且CRB={x|x＞2a-1或x＜a}（a为常数），若A∩B=B，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
      f(x)=
      x-1
      x+2
      =1-
      3
      x+2
      ，
      任取x      1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=(1-
      3
      x1+2
      )-(1-
      3
      x2+2
      )=
      3
      x2+2
      -
      3
      x1+2
      =
      3(x1-x2)
      (x1+2)?(x2+2)
      ，
      ∵x      1＜x2，∴x1-x2＜0，又x1，x2∈（-2，+∞），∴x1+2＞0，x2+2＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
      （2）∵f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
      ∴f（x）在区间[-5，-3]上为增函数．
      ∵g（x）=log      2f（x），∴g（x）在区间[-5，-3]上为增函数，
      ∴g（-5）≤g（x）≤g（-3），即1≤g（x）≤2，∴A=[1，2]，
      ∵C      RB={x|x＞2a-1或x＜a}，∴B={x|a≤x≤2a-1}，
      ①若B=?，则a＞2a-1，解得a＜1；
      ②若B≠?时，
      {
      2a-1≥a
      a≥1
      2a-1≤2
      ?1≤a≤
      3
      2
      ，
      综上所述：a∈(-∞，
      3
      2
      ]．
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