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  • 已知函数f（x）=x+mx，且f（1）=2．（1）求m；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      m
      x
      ，且f（1）=2．
      （1）求m；
      （2）判断f（x）的奇偶性；
      （3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
      （2）f（x）=x+
      1
      x
      ，f（-x）=-x-
      1
      x
      =-f（x），∴f（x）是奇函数．
      （3）函数f（x）=
      1
      x
      +x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
      设x      1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则
      f（x      1）-f（x2）=x1+
      1
      x1
      -（x2+
      1
      x2
      ）=x1-x2+（
      1
      x1
      -
      1
      x2
      ）
      =x      1-x2-
      x1-x2
      x1x2
      =（x1-x2）
      x1x2-1
      x1x2
      ．
      当1＜x      1＜x2时，x1x2＞1，x1x2-1＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2）．
      ∴函数f（x）=
      1
      x
      +x在（1，+∞）上为增函数．
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