见解析
解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2008-x），
∴g（2008-x）=f（2008-x）-f（x），
∴g（x）+g（2008-x）=f（x）-f（2008-x）+f（2008-x）-f（x）=0，是定值．
（2）证明：在R上任取实数x1＜x2，
则g（x1）-g（x2）=f（x1）-f（2008-x1）-f（x2）+f（2008-x2）
=[f（x1）-f（x2）]+[f（2008-x2）-f（2008-x1）]．
由题设知2008-x2＜2008-x1，又f（x）是R上的增函数，
∴f（x1）＜f（x2），f（2008-x2）＜f（2008-x1），
即g（x1）-g（x2）＜0，
∴g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）知 g（x）+g（2008-x）=0，
∴g（x2）=-g（2008-x2），
∴g（x1）+g（x2）=g（x1）-g（2008-x2）＞0，
即g（x1）＞g（2008-x2），
又g（x）在R上是单调递增函数，
∴x1＞2008-x2，
即 x1+x2＞2008．
