试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f（x）=4x-a1+x2在区间[m，n]上为增函数，（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，（i）求实数a的值；（ii）若P（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x0∈（a，n）使得f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1，证明：x1＜x0＜x2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      4x-a
      1+x2
      在区间[m，n]上为增函数，
      （I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
      （Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
      （i）求实数a的值；
      （ii）若P（x      1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x0∈（a，n）使得f′（x0）=
      f(x2)-f(x1)
      x2-x1
      ，证明：x1＜x0＜x2．

      试题解答

      见解析
      解：（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=
      4x-a
      1+x2
      在区间[0，1]上为增函数，
      可得 f′（x）=
      4(1+x2)-2x(4x-a)
      (1+x2)2
      =
      -2(2x2-ax-2)
      (1+x2)2
      在区间[0，1]上恒正，
      故有
      {
      f′(0)≥0
      f′(1)≥0
      ，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．
      （Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2
      √f(n)[-f(m)]
      =2
      √4
      =4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．
      由f（n）=
      4n-a
      1+n2
      ，有-a=2（n-1）2≥0，得a≤0； 由f（m）=
      4m-a
      1+m2
      ，有a=2（m+1）2≥0，得a≥0；（10分）
      故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．
      （ii）此时，f′（x      0）=
      4(1-x02)
      (1+x02)2
      ，
      f(x2)-f(x1)
      x2-x1
      =
      4(1-x1?x2)
      (1+x12)(1+x22)
      ，
      由f′（x      0）=
      f(x2)-f(x1)
      x2-x1
      ，可得
      (1-x02)
      (1+x02)2
      =
      1-x1?x2
      (1+x12)(1+x22)
      ．
      欲证x      1＜x0＜x2，先比较
      (1-x02)
      (1+x02)2
      与
      (1-x12)
      (1+x12)2
      的大小．
      由于
      (1-x02)
      (1+x02)2
      -
      (1-x12)
      (1+x12)2
      =
      1-x1?x2
      (1+x12)(1+x22)
      -
      (1-x12)
      (1+x12)2
      =
      (x1-x2)(2x1+x2-x12 ?x2)
      (1+x12)(1+x22)
      =
      (x1-x2)[x1(2-x1?x2) x2]
      (1+x12)(1+x22)
      ．

      因为0＜x      1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，有x1（2-x1x2）+x2＞0，
      于是（x      1-x2）[x1（2-x1x2）+x2]＜0，即
      (1-x02)
      (1+x02)2
      -
      (1-x12)
      (1+x12)2
      ＜0．
      另一方面，
      (1-x02)
      (1+x02)2
      -
      (1-x12)
      (1+x12)2
      =
      (x12-x02)[ 3+x12+x02-x12?x02]
      (1+x02)(1+x12)
      ，

      因为0＜x      12x02＜1，所以3+x12+x02-x12x02＞0，从而x12-x02＜0，即x1＜|x0|．
      同理可证x      0＜x2，因此x1＜|x0|＜x2．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn