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  • 已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x)=2x+3x+1（I）当x＜0时，求f（x）的解析式；（II）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x)=
      2x+3
      x+1

      （I）当x＜0时，求f（x）的解析式；
      （II）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

      试题解答

      见解析
      解：（I）当x＜0时，-x＞0，可得f(-x)=
      2(-x)+3
      (-x)+1
      ，
      由于f（x）是奇函数，于是f（-x）=-f（x），
      所以当x＜0时，f(x)=
      2x-3
      1-x
      ． （4分）
      （II）证明：设x      1，x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=
      2x1+3
      x1+1
      -
      2x2+3
      x2+1
      =
      x2-x1
      (x1+1)(x2+1)

      由0＜x      1＜x2，得x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，
      于是f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
      所以函数f(x)=
      2x+3
      x+1
      在（0，+∞）上是减函数． （8分）
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