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  • 已知函数f(x)=√x2+1-ax，其中a＞0．（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；（2）当a≥1时，判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      √x2+1
      -ax，其中a＞0．
      （1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
      （2）当a≥1时，判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；
      （3）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由2f（1）=f（-1），可得：2
      √2
      -2a=
      √2
      +a3a=
      √2
      ，a=
      √2
      3
      …（4分）
      （2）若a≥1，任取0≤x      1＜x2f(x1)-f(x2)=
      √x12+1
      -ax1-
      √x
      2
      2
      +1
      +ax2=
      √x12+1
      -
      √x
      2
      2
      +1
      -a(x1-x2)
      =
      x
      2
      1
      -x
      2
      2
      √x
      2
      1
      +1
      +
      √x
      2
      2
      +1
      -a(x1-x2)=(x1-x2)(
      x1+x2
      √x
      2
      1
      +1
      +
      √x
      2
      2
      +1
      -a)…（6分）
      因为0≤x      1＜
      √x
      2
      1
      +1
      ，0＜x2＜
      √x
      2
      2
      +1
      ，所以0＜
      x1+x2
      √x
      2
      1
      +1
      +
      √x
      2
      2
      +1
      ＜1…（8分）
      因为a≥1，则f（x      1）-f（x2）＞0，f（x）在[0，+∞）单调递减 …（10分）
      （3）任取1≤x      1＜x2，f（x1）-f（x2）=(x1-x2)(
      x1+x2
      √x
      2
      1
      +1
      +
      √x
      2
      2
      +1
      -a)，因为f（x）单调递增，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，又x1-x2＜0，那么
      x1+x2
      √x
      2
      1
      +1
      +
      √x
      2
      2
      +1
      -a＞0恒成立 （12分）
      √2
      2
      ＜
      x1+x2
      √x
      2
      1
      +1
      +
      √x
      2
      2
      +1
      ＜1，…（14分） 所以0＜a≤
      √2
      2
      …（16分）
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