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  • 如图是一个二次函数y=f（x）的图象（1）写出这个二次函数的???点，并求这个二次函数的解析式；（2）设函数g(x)=f(x)+2xx，判断函数g（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并给予证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图是一个二次函数y=f（x）的图象
      （1）写出这个二次函数的???点，并求这个二次函数的解析式；
      （2）设函数g(x)=
      f(x)+2x
      x
      ，判断函数g（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由图象知，y=f（x）的图象与x轴交点为（-3，0），（1，0），
      ∴y=f（x）的零点是x=-3和x=1；
      设y=f（x）=a（x+3）（x-1），图象过点（-1，4），
      ∴a（-1+3）（-1-1）=4，
      解得a=-1，
      ∴y=f（x）=-（x+3）（x-1）=-x      2-2x+3；
      ???2）g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，证明：
      ∵f（x）=-x      2-2x+3；
      ∴g(x)=
      f(x)+2x
      x
      =
      -x2-2x+3+2x
      x
      =-x+
      2
      x
      ，
      在（0，+∞）上任取x      1，x2，且x1＜x2，
      则g（x      1）-g（x2）=（-x1+
      2
      x1
      ）-（-x2+
      2
      x2
      ）=（x2-x1）+
      2(x2-x1)
      x1x2
      =
      (x2-x1)(x1x2+2)
      x1x2
      ；
      ∵0＜x      1＜x2，
      ∴x      2-x1＞0，x1x2＞0，
      ∴g（x      1）＞g（x2）；
      ∴g（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
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