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  • 已知函数f(x)=1a-1x（a≠0，x≠0）．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；（3）若关于t（t≠0）的方程f(1t2)=t4+1有实数解，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      a
      -
      1
      x
      （a≠0，x≠0）．
      （1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
      （2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
      （3）若关于t（t≠0）的方程f(
      1
      t2
      )=t4+1有实数解，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：任取x1＞x2＞0，
      f（x      1）-f（x2）=（
      1
      a
      -
      1
      x1
      ）-（
      1
      a
      -
      1
      x2
      ）=
      1
      x2
      -
      1
      x1
      =
      x1-x2
      x1x2
      …（1分）
      ∵x      1＞x2＞0，∴x1x2＞0，x1-x2＞0，…（3分）
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
      故f（x）在（0，+∞）上是增函数 …（5分）
      （2）可得F(x)=f(x)-a=
      1
      a
      -
      1
      x
      -a…（6分）
      ∴F(-x)=
      1
      a
      +
      1
      x
      -a，又因为F（-x）为奇函数，
      所以 F(-x)+F(x)=
      2
      a
      -2a=0…（8分）
      解得 a=1或 a=-1…（10分）
      （3）由f(
      1
      t2
      )=t4+1得：t4+t2+1-
      1
      a
      =0，令 m=t2，（m＞0）…（12分）
      所以本题等价于关于m的方程       m2+m+1-
      1
      a
      =0有正数解． …（14分）
      令F(m)=m      2+m+1-
      1
      a
      ，其对称轴为 m=-
      1
      2
      ，
      ∴F（m）在区间(-
      1
      2
      ，+∞)为增函数，
      所以有 F(0)=1-
      1
      a
      ＜0，解得0＜a＜1…（16分）
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