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  • 给出函数f(x)=√x2+4+tx（x∈R）．（1）当t≤-1时，证明y=f（x）是单调递减函数；（2）当t=12时，可以将f（x）化成f(x)=a(√x2+4+x)+b(√x2+4-x)的形式，运用基本不等式求f（x）的最小值及此时x的取值；（3）设一元二次函数g（x）的图象均在x轴上方，h（x）是一元一次函数，记F(x)=√g(x)+h(x)，利用基本不等式研究函数F（x）的最值问题．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      给出函数f(x)=
      √x2+4
      +tx（x∈R）．
      （1）当t≤-1时，证明y=f（x）是单调递减函数；
      （2）当t=
      1
      2
      时，可以将f（x）化成f(x)=a(
      √x2+4
      +x)+b(
      √x2+4
      -x)的形式，运用基本不等式求f（x）的最小值及此时x的取值；
      （3）设一元二次函数g（x）的图象均在x轴上方，h（x）是一元一次函数，记F(x)=
      √g(x)
      +h(x)，利用基本不等式研究函数F（x）的最值问题．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=
      √x12+4
      -
      √x22+4
      +t(x1-x2)
      化成f(x      1)-f(x2)=(x1-x2)(
      x1+x2
      √x12+4
      +
      √x22+4
      +t)
      显然，当x      1+x2≤0时，f（x1）-f（x2）＞0
      当x      1+x2＞0时，
      x1+x2
      √x12+4
      +
      √x22+4
      +t＜1+t≤0，即f（x1）-f（x2）＞0
      所以y=f（x）是单调递减函数；
      （2）由题意得
      {
      a+b=1
      a-b=
      1
      2
      ，解得
      {
      a=
      3
      4
      b=
      1
      4
      ，
      ∴f(x)=
      √x2+4
      +
      1
      2
      x=
      3
      4
      (
      √x2+4
      +x)+
      1
      4
      (
      √x2+4
      -x)≥2
      √
      3
      16
      (x2+4-x2)
      =
      √3

      当且仅当
      3
      4
      (
      √x2+4
      +x)=
      1
      4
      (
      √x2+4
      -x)，即x=-
      2
      √3
      3
      时，f(x)min=
      √3
      ；
      （3）由题意设g（x）=a（x-m）      2+n，（a＞0，n＞0），h（x）=tx+b （t≠0），
      所以F(x)=
      √a(x-m)2+n
      +tx+b．
      若用x代换x-m，用
      √a
      t代换t，则F（x）总能化成F(x)=
      √a
      (
      √x2+r2
      +tx+q)（r＞0）的形式．
      由于
      √a
      及q均是常数，因而，只需研究F(x)=
      √x2+r2
      +tx（r＞0）的最值．
      当|t|≥1时，F（x）是单调函数，无最值．
      当|t|＜1时，
      F(x)=
      √x2+r2
      +tx=
      1+t
      2
      (
      √x2+r2
      +x)+
      1-t
      2
      (
      √x2+r2
      -x)≥
      √(1-t2)(x2+r2-x2)

      即F(x)      min=r
      √1-t2
      ，此时x=-
      rt
      √1-t2
      ．
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