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  • 函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、y∈R，都满足f（x）?f（y）=f（x+y），则下列四个结论中，正确的个数是（ ）（1）f（0）=0； （2）对任意x∈R，都有f（x）＞0； （3）f（0）=1；（4）若x＜0时，有f（x）＞f（0），则f（x）在R上的单调递减．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、y∈R，都满足f（x）?f（y）=f（x+y），则下列四个结论中，正确的个数是（　　）
      （1）f（0）=0； （2）对任意x∈R，都有f（x）＞0； （3）f（0）=1；
      （4）若x＜0时，有f（x）＞f（0），则f（x）在R上的单调递减．

      试题解答

      C
      解：令x=y=0代入f（x）?f（y）=f（x+y），
      所以f（0）?f（0）=f（0），
      解得：f???0）=0或者f（0）=1．
      令x=0代入f（x）?f（y）=f（x+y），可得代入f（0）?f（y）=f（y），
      因为函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，
      所以f（0）=1．
      所以（3）正确．
      因为对于任意x∈R，都有f(x)=f(
      x
      2
      +
      x
      2
      )=[f(
      x
      2
      )]2 ≥0，并且 f(
      x
      2
      )≠0，
      所以f（x）＞0．
      所以（2）正确．
      设x      1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]，
      因为x      1-x2＜0，
      所以f（x      1-x2）＞f（0）=1，
      所以f（x      1-x2）-1＞0．
      又因为f（x      2）＞0，
      所以f（x      2）f[（x1-x2）-1]＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，
      所以f（x）在R上是减函数．
      所以（4）正确．
      故选C．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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