试讨论函数f（x）=logax+1x-1（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．试题及答案-单选题-云返教育

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试讨论函数f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．

见解析

解：设u=

x+1

x-1

，任取x₂＞x₁＞1，则
u₂-u₁=

x₂+1

x₂-1

x₁+1

x₁-1

(x₂+1)(x₁-1)-(x₁+1)(x₂-1)

(x₂-1)(x₁-1)

2(x₁-x₂)

(x₂-1)(x₁-1)

．
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0．
又∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．
∴

2(x₁-x₂)

(x₂-1)(x₁-1)

＜0，即u₂＜u₁．
当a＞1时，y=log_ax是增函数，∴log_au₂＜log_au₁，
即f（x₂）＜f（x₁）；
当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，∴log_au₂＞log_au₁，
即f（x₂）＞f（x₁）．
综上可知，当a＞1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上为增函数．

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