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  • 根据函数单调性的定义，判断f(x)=axx2+1（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      根据函数单调性的定义，判断f(x)=
      ax
      x2+1
      （a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．

      试题解答

      见解析
      解：在[1，+∞）上任取x1，x2，且1≤x1＜x2，（2分）
      则f(x      1)-f(x2)=
      ax1
      x
      2
      1
      +1
      -
      ax2
      x
      2
      2
      +1
      =a
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      （6分）
      ∵1≤x      1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，且1-x1x2＜0．（8分）
      （1）当a＞0时，f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
      ∴f(x)=
      ax
      x2+1
      是[1，+∞）上的减函数；（10分）
      （2）当a＜0时，f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴f(x)=
      ax
      x2+1
      是[1，+∞）上的增函数；（12分）
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