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  • 函数f（x）=12（ax+a-x）（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，419）．（1）求f（x）的解析式；（2）证明f（x）在[0，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）=
      1
      2
      （ax+a-x）（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，
      41
      9
      ）．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）证明f（x）在[0，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）图象过点（2，
      41
      9
      ），
      ∴f（2）=
      41
      9
      ，即
      1
      2
      (a2+a-2)=
      41
      9
      ，
      ∴a      2=9或a2=
      1
      9
      ，
      ∵a＞0且a≠1，
      ∴a=3或a=
      1
      3
      ，
      ∴f（x）的解析式为：f（x）=
      1
      2
      (3x+3-x)；
      （2）证明：设0≤x      1＜x2，则
      f（x      1）-f（x2）=
      1
      2
      (3x1+3-x1)-
      1
      2
      (3x2+3-x2)
      =
      1
      2
      [(3x1-3x2)+
      3x2-3x1
      3x1?3x2
      ]
      =
      1
      2
      (3x1-3x2)?
      3x1+x2-1
      3x1+x2
      ，
      ∵x      1＜x2，
      ∴      3x1＜3x2即3x1-3x2＜0，
      ∵0≤x      1＜x2，
      ∴      3x1+x2＞1，即3x1+x2-1＞0，3x1+x2＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．
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